Математика Масштаба: Большая, Маленькая И Все, Что Между

Математика Масштаба: Большая, Маленькая И Все, Что Между

Дыши. Когда ваши легкие расширяются, воздух наполняет 500 миллионов крошечных альвеол, каждая из которых составляет доли миллиметра в диаметре. Когда вы выдыхаете, эти миллионы крошечных вдохов легко сливаются через все большие и большие дыхательные пути в одно полное дыхание. googletag.cmd.push (function () {googletag.display ('div-gpt-ad-1449240174198-2');});

Эти дыхательные пути являются фрактальными.

Фракталы - это математический инструмент для описания объектов с деталями в любом масштабе. Математики и физики, такие как я, используют фракталы и связанные с ними понятия, чтобы понять, как все меняется с малых на большие.

Мы с тобой переводим между совершенно разных масштабов, когда думаем о том, как наш выбор влияет на мир. Способствует ли этот латте изменению климата? Должен ли я голосовать на этих выборах?

Эти концептуальные инструменты применимы как к телу, так и к пейзажам, стихийным бедствиям и обществу.

Фракталы повсюду

В 1967 году математик Бенуа Мандельброт спросил: «Как долго длится побережье Британии?»

Это вопрос с подвохом. Ответ зависит от того, как вы его измеряете. Если вы проследите контур на карте, вы получите один ответ, но если вы пройдете по береговой линии с помощью метки, результат будет совсем другим. Любой, кто пытался оценить длину труднопроходимой туристической тропы по карте, знает предательство крупномасштабной картины.

Это потому, что легкие, британская береговая линия и пешеходные тропы имеют фрактальность: их длина, количество ветвей или какое-то другое количество зависит от масштаба или разрешения, которое вы используете для их измерения.

Береговая линия также самоподобна - она ​​сделана из более мелких копий себя. Листья папоротника, деревья, раковины улиток, пейзажи, силуэты гор и речные сети - все они выглядят как уменьшенные версии самих себя.

Вот почему, когда вы смотрите на аэрофотоснимок ландшафта, часто трудно сказать, должна ли шкала масштаба быть 50 км или 500 м.

Ваши легкие самоподобны, потому что тело точно калибрует каждую ветвь в точных пропорциях, делая каждую ветвь меньшей копией предыдущей. Эта модульная конструкция делает легкие эффективными при любом размере. Вспомните ребенка и взрослого или мышь, кита. Единственная разница между малым и большим состоит в том, сколько раз ветвь дыхательных путей.

Самоподобие и фрактальность проявляются в искусстве и архитектуре, в арках внутри арок римских акведуков и шпилях готических соборов, которые отражают полог леса. Даже древние китайские каллиграфы Хуай Су и Ян Чжэньцин высоко оценили фрактальность летних облаков, трещин в стене и пятен от воды в протекающем доме в 722 году.

Масштабная инвариантность

Самоподобные объекты имеют масштабную инвариантность , Другими словами, некоторые свойства сохраняются независимо от того, насколько они велики, например, эффективность легких.

По сути, масштабная инвариантность описывает, что меняется между масштабами, говоря, что не меняется.

Леонардо да Винчи заметил, что при ветвлении деревьев общая площадь поперечного сечения всех ветвей сохраняется.Другими словами, при переходе от ствола к ветке число ветвей и их диаметр меняются с каждым ветвлением, но общая толщина всех ветвей, связанных вместе, остается неизменной.

Наблюдение Да Винчи подразумевает масштабную инвариантность: для каждой ветви определенного радиуса есть четыре ветви вниз по течению с половиной этого радиуса. Частота землетрясений

имеет аналогичную масштабную инвариантность, которая наблюдалась в 1940-х годах. На ум приходят крупные - Лиссабон 1755, Сан-Франциско 1989 - но в Калифорнии каждый день происходит много небольших землетрясений. Закон Гутенберга-Рихтера гласит, что частота землетрясений зависит от величины землетрясения. Ответ на удивление прост. Землетрясение в десять раз сильнее, примерно на одну десятую чаще.

Общество и степенной закон

Экономист 19-го века Вилифредо Парето - известный в бизнес-школе правилом 80/20 - заметил, что число семей с определенным богатством обратно пропорционально их богатству , возведенный в какой-то показатель.Парето измерил показатель в разные годы и в разных странах и обнаружил, что он обычно составляет около 1,5.

Распределение богатства Парето стало известно как степенной закон, якобы из-за показателя или «власти».

Все самоподобное имеет соответствующий степенной закон. В апрельской газете мы с коллегой описываем соответствующий степенной закон для легких, кровеносных сосудов и деревьев. Он отличается от степенного закона Парето только тем, что учитывает конкретные соотношения между ветвями.

Размеры судьбы сродни размерам веток деревьев или кровеносных сосудов - несколько стволов или крупных ветвей и экспоненциально больше крошечных веточек.

Парето думал о своем распределении богатства как о естественном законе, но множество различных моделей социальной организации порождают распределение по Парето, и общества действительно различаются по неравенству богатства. Чем выше показатель Парето, тем более эгалитарно общество.

От понимания того, как люди состоят из крошечных клеток, до того, как мы влияем на планету, самоподобие, фрактальность и масштабная инвариантность часто помогают переводить с одного уровня организации на другой.

Эта статья переиздана из The Conversation под лицензией Creative Commons. Прочитайте оригинальную статью.

.