Призрачные Паттерны В Математике Объясняются Идеями В Физике

Призрачные Паттерны В Математике Объясняются Идеями В Физике

Образцы широко распространены в природе и математике, от спиралей Фибоначчи морских раковин до периодичности кристаллов. Но некоторые математические задачи иногда могут обмануть человека, решающего проблему, и увидеть шаблон, но затем, внезапно, шаблон внезапно исчезает. Эти призрачные паттерны возникают во многих областях математики, и один пример исходит из определенных интегралов исчисления, которые обманули интуицию даже лучших математиков. googletag.cmd.push (function () {googletag.display ('div-gpt-ad-1449240174198-2');});

В новом исследовании два физика подошли к этим интегралам, используя физическую концепцию случайных блужданий. В то время как решение этих интегралов обычно требует больших усилий и изобретательности, физики показали, что новый подход может находить решения интуитивно, а иногда даже без необходимости явных вычислений.

Физики Сатья Н. Маджумдар и Эммануэль Тризак из Университета Париж-Суд, CNRS, во Франции, опубликовали статью об использовании случайных бродяг для решения интегралов в недавнем выпуске Physical Review Letters.

«Мы показали, что понимание физики позволяет нам получить без вычислений множество любопытных интегралов и, кроме того, получить ранее неизвестные тождества (либо интегралы, либо равенства между дискретными суммами и интегралами), "Тризак сказал Phys.org. «Наша работа показывает, что когда математическая интуиция обманута, физическая интуиция может спасти день».

Паттерны в интегралах Борвейна

Рассматриваемые интегралы (см. Рисунок) - это «интегралы Борвейна», названные в честь Дэвида и Джонатана Боровейнов (отец и сын), которые заметили в них необычные закономерности в 2001 году. Интегралы Борвейна включают в себя произведение функций синуса (кардинального синуса), которые имеют широкое применение, например, в оптике, обработке сигналов и других областях. Эти два конкретных интеграла могут быть использованы для вычисления объемов гиперкубов.

Решение интегралов Борвейна предполагает замену чисел на переменную n. Каждое число дает различное значение решения, позволяя математикам наблюдать закономерности в результирующей последовательности значений. Например, для первого интеграла (In), когда вы подставляете числа n = 1-7, вы каждый раз получаете ответ π. Но когда вы получите n = 8, ответ будет немного меньше, чем π (примерно π - 10-10). Когда математики впервые вычислили это значение на компьютере, они подумали, что в программном обеспечении должна быть ошибка. Но ответ подтвердился, и последующие члены (для n = 9, 10 и т. Д.) Продолжают становиться все меньше и меньше.

Некоторые шаблоны сохраняются еще дольше. Для второго интеграла, Jn, все первые 56 членов последовательности (полученные путем подстановки чисел от 1 до 56 вместо n) равны π / 2. Но 57-й член составляет примерно π / 2—10–110, а последующие члены продолжают уменьшаться. (Вещи могут стать еще более экстремальными: для одного варианта интегралов Борвейна, который здесь не обсуждается, шаблон с постоянным значением имеет место для поразительных первых 10176 членов последовательности, после которых шаблон, наконец, нарушается.)

Математики могут объяснить, почему эти шаблоны внезапно ломаются, по крайней мере, в математических терминах. Обратите внимание, что оба вышеприведенных интеграла Борвейна содержат функцию sinc (ank), где an = 1 / (2n − 1). Если вы замените n в этом выражении числами 1, 2, 3,… на n, вы получите последовательность 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, .... Боровейны заметили, что первый член, 1, не только больше, чем все остальные термины, которые идут после, но он даже больше, чем сумма следующих нескольких терминов - со второго по седьмой, если быть точным, как 1 / 3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 = 0,955…, что меньше 1. Но при добавлении восьмого члена, 1/15, к этой сумме, ответ равен 1,02 … Так что чуть выше 1. Оказывается, не случайно, что седьмое слагаемое является последним слагаемым, для которого интеграл оценивается как π, а восьмое слагаемое является точкой, в которой разрывается паттерн.

Боровейн доказал теорему (см. Рисунок), которая формулирует эту идею в более общих терминах. Теорема верна и для второго интеграла, Jn.Учет функции косинуса в Jn меняет приведенное выше выражение на 2 / (2n-1) благодаря свойству cos (a) sinc (a) = sinc (2a), так что первый член равен 2 вместо 1. Как сумма второго - 56-го слагаемых выражения меньше 2, но добавление 57-го слагаемого приводит к увеличению суммы над 2, что справедливо в теореме.

Случайные бродяги

Хотя эта теорема помогает объяснить, когда временные шаблоны интегралов Бервейна нарушаются, до сих пор не совсем ясно, почему теорема в первую очередь справедлива.

В новой статье Мажумдар и Тризак предложили некоторую физическую интуицию в теореме, соединив ее с некоторыми хорошо понятными понятиями в теории вероятностей и статистической механике. Они заметили, что интеграл в теореме имеет тесную связь с равномерным распределением вероятностей, которое широко используется в науке. В частности, преобразование Фурье с равномерным распределением вероятностей оказывается просто функцией sinc, которая дает интеграл Борвейна для n = 1.Эта связь соединяет интегралы Борвейна с физическим миром, так что, используя соответствующие параметры, события, которые следуют за равномерным распределением, могут использоваться для моделирования последовательности решений интегралов Бервейна.

Чтобы описать эту связь в более физическом контексте, исследователи посмотрели на случайных бродяг. Случайный бродяга - это абстрактный объект, который может перемещаться на определенное расстояние в любом направлении, где точное расстояние выбирается случайным образом из непрерывного интервала значений, и каждое из этих значений одинаково вероятно будет выбрано (т. Е. Оно следует равномерному распределению ). Случайные бродяги могут точно моделировать различные случайные явления, такие как цены на фондовом рынке, пути кормления животных и пути молекул в газе, которые происходят в одном, двух или трех измерениях, соответственно.

В новой статье физики показывают, что движения бесконечного числа случайных бродяг можно использовать для моделирования появления и исчезновения паттернов в интегралах Бервейна.Начнем с того, что все случайные путешественники начинают с нулевой точки на одномерной числовой линии. На первом этапе каждому ходячему разрешено перемещаться на произвольную дистанцию ​​до 1 единицы, влево или вправо. На втором этапе каждый ходок может перемещаться на случайное расстояние до 1/3, затем на случайное расстояние до 1/5, затем на 1/7, 1/9 и т. Д. То есть каждому последующему допустимому расстоянию шага соответствует к следующему значению выражения 1 / (2n — 1).

Главный вопрос: какова доля случайных бродяг в начальной точке (начале координат) после каждого временного шага? Оказывается, что доля (точнее, плотность вероятности) ходунков в начале координат на каждом временном шаге n соответствует решению интеграла Борвейна с использованием одного и того же значения n.

Как объясняют физики, для первых семи шагов плотность вероятности того, что ходок заканчивается в начале координат, всегда равна ½, что в силу приведенной выше теоремы соответствует интегральному значению π. Основная идея заключается в том, что до этого времени плотность ходунков в начале координат была такой же, как если бы вся числовая линия была равномерно заполнена ходунками.В действительности, поскольку максимальное расстояние каждого шага ограничено, доступна только часть числовой линии, т. Е. Мир пешеходов конечен.

Однако на первых семи шагах бродяги в начале координат чувствуют, что их мир бесконечен, поскольку они не обладают какой-либо информацией о существовании границ, которые указывали бы на то, что мир конечен. Это связано с тем, что ни один из тех ходящих, которые достигли внешней границы своего мира (+1 или -1 после первого шага), не смогли бы вернуться к исходной точке менее чем за семь шагов, даже если они достигли максимального размера шаги разрешены и все в направлении к начальной точке. Поскольку эти ходоки имели нулевую вероятность появления в начальной точке до восьмого шага, они не могли повлиять на долю случайных ходоков в начальной точке. Таким образом, для первых семи шагов плотность пешеходов в начале координат установлена ​​равной 1/2 (она «защищена»).

Но как только те ходоки, которые достигли +1 или -1, вернутся к исходной точке, ситуация изменится.После восьмого шага возможно, что некоторые из этих пешеходов вернутся к исходной точке. Теперь эти ходоки действуют как «посланники» в том смысле, что их возвращение к исходной точке обнаруживает существование границы, сообщая другим ходячим в начале координат, что их мир конечен, и, следовательно, влияя на плотность ходячих в начале координат.

Поскольку эти ходоки-мессенджеры вернулись к исходной точке, становится ясно, что некоторые другие идущие через границу пешеходы не вернулись, но вместо этого могли продолжать двигаться дальше. В результате распределение вероятностей становится более разбросанным, в результате чего доля пешеходов в начале координат постепенно уменьшается от ½ (или π для интеграла). Именно эта эрозия объясняет, почему значения первого интеграла Борвейна очень незначительно уменьшаются при n ≥ 8. Аналогичный аргумент справедлив для второго интеграла Борвейна (см. Видео).

Соединяя интегралы Борвейна с вероятностями случайных блужданий, новые результаты предлагают совершенно иной подход к решению этих интегралов, чем с помощью прямого вычисления.Физики показали, что тот же самый подход может быть применен ко многим другим интегралам в дополнение к двум описанным здесь, включая расширения к более высоким измерениям. Исследователи ожидают, что этот подход может обеспечить решение без вычислений для многих других интегралов, которые в противном случае очень трудно решить.

«Проблемы случайного блуждания и их бесконечные последствия образуют один из краеугольных камней современной физики с широким спектром приложений в физике, химии, биологии, технике и т. Д.», - сказал Тризак. «Поскольку наш вывод интригующих интегралов включает в себя базовые понятия из теории случайных блужданий, мы ожидаем, что новые тождества и интегралы в реальных приложениях могут быть получены с использованием нашей ключевой идеи в ближайшем будущем».

© 2019 Science X Network

.